berikan contoh soal dan jawaban tentang persamaan garis singgung pada lingkaran
1. berikan contoh soal dan jawaban tentang persamaan garis singgung pada lingkaran
2. Persamaan garis singgung lingkaran di titik (7, 1) adalah...
a. 3x – 4y – 41 = 0
b. 4x + 3y – 55 = 0
c. 4x – 5y – 53 = 0
d. 4x + 3y – 31 = 0
e. 4x – 3y – 40 = 0
Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (x1, y1) dicari dengan rumus:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) + ½ . 4 (y1 + y) - 12 = 0
7.x + 1.y – 3 (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0
7x + y – 21 – 3x + 2 + 2y – 12 = 0
4x + 3y – 31 = 0
Jawaban: D
2. buatlah contoh soal beserta jawaban dari persamaan garis singgung pada lingkaran yang mudah dipahami
Jika sebuah garis menyinggung lingkaran di titik (-8,6) dan lingkaran tersebut mempunyai persamaan x2+y2=100. Tentukan persamaan dari garis tersebut?
Jawab : caranya cukup mudah tinggal masukkan ke rumus persamaan garis singgung lingkaran yang pertama
x1x+y1y= r2
-8x+6y = 100
-4x+3y = 50
3. Bagaimana cara mencari persamaan garis singgung dengan titik di luar lingkaran dengan pusat (a,b) ? caranya harus pakai kalkulus (turunan) gak boleh rumus biasa yang sudah diketahui (kalau kirim rumus biasa langsung di report, begitu juga spam, no answer dan lain sebagainya yang pantas untuk di report)contoh soal : carilah 2 persamaan garis singgung yang melewati titik (4,4) dan menyentuh lingkaran (x-3)²+(y-6)² = 1 (cari gradien garis singgung dengan konsep turunan dan gradien garis (m = Δy/Δx) !)
Andaikan diberikan sebarang lingkaran P(a, b) yang berjari jari r, persamaannya adalah :
(x-a)² + (y-b)² = r² ...(1)
Jika titik (p, q) diluar lingkaran dan titik (h, k) adalah titik singgungnya, maka menurut konsep gradien garis :
[tex]m=\frac{\delta{y}}{\delta{x}}=\frac{k-q}{h-p}\cdots(2)[/tex]
Sekarang, gradien garis singgung pada titik di suatu kurva dinyatakan dengan :
m = y'...(3)
dengan mengambil kurvanya lingkaran, maka dengan turunan implisit, diperoleh :
m : 2(x - a) + 2(y - b)y'= 0
m : 2(y - b)y' = -2(x - a)
m : y' = [tex]-\frac{x-a}{y-b}=-\frac{h-a}{k-b}\cdots(4)[/tex]
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2), diperoleh :
[tex]-\frac{h-a}{k-b}=\frac{k-q}{h-p}\\-(h-a)(h-p)=(k-b)(k-q)\\(h-a)(h-p)+(k-b)(k-q)=0\\h^2-(a+p)h+ap+k^2-(b+q)k+bq=0\\h^2+k^2=(a+p)h+(b+q)k-(ap+bq)\\r^2=(a+p)h+(b+q)k-(ap+bq)\cdots(5)[/tex]
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke persamaan lingkarannya, akan didapatkan titik - titik singgungnya.
Contoh Soal :
L : (x - 3)² + (y - 6)² = 1 dan titik (4, 4)
Sesuai dengan persamaan terakhir yang telah didapatkan tadi, maka diperoleh :
1² = (3 + 4)h + (6 + 4)k - (3.4 + 6.4)
1 = 7h + 10k - 36
7h + 10k = 37 atau bisa juga 7x + 10y = 37, sehingga y = 1/10(37-7x). Substitusikan ke lingkaran, diperoleh :
(x - 3)² + (1/10(37-7x)-6)² = 1
(x - 3)² + (23 - 7x)² / 100 = 1 (kali 100)
100(x - 3)² + (23 - 7x)² = 100
100(x² - 6x + 9) + 529 - 322x + 49x² = 100
100x² - 600x + 900 + 529 - 322x + 49x² = 100
149x² - 922x + 1329 = 0
[tex]x_{1,2}=\frac{-(-922)\pm\sqrt{58000}}{2(149)}=\frac{922\pm20\sqrt{145}}{298}[/tex]
